Everest Prep — Unghiuri. Triunghiuri. Cercul

1. Unghiuri

Definiția unghiului

Definiție. Reuniunea a două semidrepte închise, cu aceeași origine, se numește unghi.

Dacă semidreptele sunt [OA) și [OB), atunci ele formează unghiul AOB.

Figura

Citire, notație și elemente

Citire: unghiul AOB, unghiul BOA sau unghiul O.

Notație: ∠AOB, ∠BOA, ∠O.

O este vârful unghiului;
[OA) și [OB) sunt laturile unghiului.

Pozițiile relative ale unui punct față de un unghi

figura

explicații

A, O și B aparțin unghiului ∠AOB;

I și J se află în interiorul unghiului ∠AOB;

E, F și G se află în exteriorul unghiului ∠AOB.

Notație: A,O,B ∈ ∠AOB; I,J ∈ Int(∠AOB); E,F,G ∈ Ext(∠AOB).

Tipuri de unghiuri

Unghiuri improprii. Unghi propriu. Unghiul nul și unghiul alungit se numesc unghiuri improprii. Unghiul care nu este nici nul și nici alungit se numește unghi propriu.

Clasificarea unghiurilor improprii

Unghi nul

Unghiul nul este unghiul ale cărui laturi sunt semidrepte identice.

m(∠AOA)=0°

Unghi alungit

Unghiul alungit este unghiul ale cărui laturi sunt semidrepte opuse.

m(∠AOB)=180°

Clasificarea unghiurilor proprii

Unghi ascuțit

Unghiul ascuțit este unghiul a cărui măsură este cuprinsă între 0° și 90°.

∠AOB

Unghi drept

Unghiul drept este unghiul a cărui măsură este egală cu 90°.

∠DEF

Unghi obtuz

Unghiul obtuz este unghiul a cărui măsură este cuprinsă între 90° și 180°.

∠MPN

Definiția unghiului

Definiție. Figura geometrică formată din două semidrepte care au aceeași origine se numește unghi.

Figura

Citire, notație și elemente

Unghiul se citește unghiul AOB.
Se notează ∠AOB sau ∠BOA.
Punctul O este vârful unghiului.
Semidreptele [OA) și [OB) sunt laturile unghiului.
Interiorul unghiului este regiunea dintre cele două laturi.

Unghiuri adiacente

Definiție

Definiție. Două unghiuri care au același vârf, o latură comună și interioarele situate de o parte și de alta a laturii comune se numesc unghiuri adiacente.

Figura

Alte informații

∠AOB și ∠BOD au vârful comun O.
[OB) este latura comună.
Interioarele celor două unghiuri nu au puncte comune.
În figură, ∠AOB și ∠BOD sunt unghiuri adiacente.
Dacă unghiurile adiacente formează împreună un unghi ∠AOD, atunci m(∠AOD)=m(∠AOB)+m(∠BOD).

Bisectoarea unui unghi propriu

Definiție. Semidreapta cu originea în vârful unghiului, interioară unghiului, care formează cu laturile acestuia două unghiuri congruente, se numește bisectoare.

[OM) ⊂ Int(∠AOB);

∠AOM = ∠BOM;

deci [OM) este bisectoarea unghiului ∠AOB.

Unghiuri complementare

Două unghiuri care au suma măsurilor egală cu 90° se numesc unghiuri complementare. Fiecare dintre cele două unghiuri este complementul celuilalt.

Unghiuri suplementare

Două unghiuri care au suma măsurilor egală cu 180° se numesc unghiuri suplementare. Fiecare dintre cele două unghiuri este suplimentul celuilalt.

Unghiuri opuse la vârf

Definiție. Două unghiuri proprii, cu laturile unuia semidrepte opuse laturilor celuilalt, se numesc unghiuri opuse la vârf.

[OA) și [OD) sunt semidrepte opuse;

[OB) și [OC) sunt semidrepte opuse;

∠AOB și ∠COD sunt unghiuri opuse la vârf;

∠AOC și ∠BOD sunt unghiuri opuse la vârf.

Teoremă. Unghiurile opuse la vârf sunt congruente.

Unghiuri în jurul unui punct

Trei sau mai multe unghiuri, care au vârful comun, au interioarele disjuncte două câte două și acoperă întreaga regiune din jurul punctului, se numesc unghiuri în jurul unui punct.

În figura alăturată, ∠AOB, ∠BOC, ∠COD, ∠DOE și ∠EOA sunt unghiuri în jurul punctului O.

Teoremă. Suma măsurilor unghiurilor din jurul unui punct este egală cu 360°.

Unghiuri determinate de o secantă și două drepte paralele

Teoremă. Două drepte paralele, intersectate de o secantă, formează perechi de unghiuri:

alterne interne congruente: ∠4 ≡ ∠6, ∠3 ≡ ∠5;
alterne externe congruente: ∠1 ≡ ∠7, ∠2 ≡ ∠8;
corespondente congruente: ∠1 ≡ ∠5, ∠4 ≡ ∠8, ∠2 ≡ ∠6, ∠3 ≡ ∠7;
interne de aceeași parte a secantei, suplementare: m(∠4)+m(∠5)=180°, m(∠3)+m(∠6)=180°;
externe de aceeași parte a secantei, suplementare: m(∠1)+m(∠8)=180°, m(∠2)+m(∠7)=180°.

Teorema reciprocă. Dacă două drepte tăiate de o secantă formează două unghiuri alterne interne congruente, alterne externe congruente, corespondente congruente, interne de aceeași parte a secantei suplementare sau externe de aceeași parte a secantei suplementare, atunci dreptele sunt paralele.

Unghiuri cu laturi paralele

Două unghiuri cu laturile respectiv paralele sunt:

congruente, dacă sunt de același fel — ambele ascuțite, ambele obtuze sau ambele drepte;
suplementare, dacă unul este ascuțit și celălalt obtuz.

∠M ≡ ∠N

∠A ≡ ∠B

m(∠O)+m(∠P)=180°

2. Triunghiul

Definiția triunghiului

Definiție. Fie A, B și C trei puncte necoliniare. Se numește triunghi figura formată din reuniunea segmentelor [AB], [BC] și [CA].

△ABC = [AB] ∪ [BC] ∪ [CA]

Figura

Elemente și perimetru

[AB], [BC] și [AC] sunt laturile;
∠A, ∠B și ∠C sunt unghiurile;
A, B și C sunt vârfurile.

Perimetrul este suma lungimilor laturilor. Dacă a=BC, b=AC și c=AB, atunci:

P = a + b + c

p = (a + b + c) / 2

Clasificarea în funcție de lungimile laturilor

Triunghiul oarecare (scalen) are toate laturile de lungimi diferite.
Triunghiul isoscel are două laturi congruente. Latura necongruentă se numește bază.
Triunghiul echilateral are toate laturile congruente.

Clasificarea în funcție de măsurile unghiurilor

Triunghiul ascuțitunghic are toate unghiurile ascuțite.
Triunghiul dreptunghic are un unghi drept. Latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză, iar laturile care formează unghiul drept se numesc catete.
Triunghiul obtuzunghic are un unghi obtuz.

Congruența triunghiurilor

Triunghiurile care au elementele corespunzătoare congruente două câte două se numesc triunghiuri congruente.

Cazurile de congruență

Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt congruente este suficient să verificăm trei congruențe, dintre care cel puțin una este o congruență de laturi.

Cazul L.U.L.

Două triunghiuri care au două laturi și unghiul cuprins între ele, respectiv congruente, sunt congruente.

Cazul U.L.U.

Două triunghiuri care au o latură și unghiurile alăturate ei, respectiv congruente, sunt congruente.

Cazul L.L.L.

Două triunghiuri care au laturile respectiv congruente sunt congruente.

Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi

Teoremă. În orice triunghi, suma măsurilor unghiurilor este egală cu 180°.

m(∠A) + m(∠B) + m(∠C) = 180°

Consecințe.

Într-un triunghi dreptunghic, unghiurile ascuțite sunt complementare.
Toate unghiurile triunghiurilor echilaterale au măsura de 60°.

Unghiul exterior al unui triunghi

Definiție. Unghiul exterior al triunghiului ABC este unghiul adiacent și suplementar unui unghi al triunghiului.

În figura alăturată, ∠ACD este unghi exterior triunghiului ABC, unde [CD) este semidreapta opusă semidreptei [CB).

Observație. Un triunghi are șase unghiuri exterioare, două câte două opuse la vârf.

Teorema unghiului exterior. Măsura unui unghi exterior unui triunghi este egală cu suma măsurilor unghiurilor triunghiului neadiacente lui.

m(∠ACD) = m(∠A) + m(∠B)

Drepte importante în triunghi

Înălțimea

Este perpendiculara construită dintr-un vârf al triunghiului pe latura opusă.

Cele trei înălțimi ale triunghiului sunt concurente.

Ortocentru H

Mediana

Este segmentul care unește un vârf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse.

Cele trei mediane sunt concurente. Centrul de greutate se află la două treimi de vârf și la o treime de bază.

Centrul de greutate G

Bisectoarea

Este bisectoarea unui unghi al triunghiului și îl împarte în două unghiuri congruente.

Cele trei bisectoare ale triunghiului sunt concurente.

Centrul cercului înscris I

Mediatoarea

Este perpendiculara construită pe o latură a triunghiului în mijlocul acesteia.

Cele trei mediatoare ale laturilor sunt concurente.

Centrul cercului circumscris O

Linia mijlocie a unui triunghi este segmentul care unește mijloacele a două laturi. Orice linie mijlocie este paralelă cu a treia latură și are lungimea egală cu jumătate din lungimea acesteia.

Dacă MN este linie mijlocie în △ABC, atunci:

MN ∥ BC

MN = BC / 2

Proprietăți ale triunghiurilor particulare

Proprietăți ale triunghiului isoscel

Dacă un triunghi este isoscel, atunci unghiurile alăturate bazei sunt congruente.
Dacă un triunghi are două unghiuri congruente, atunci triunghiul este isoscel.
Bisectoarea unghiului de la vârf este, în același timp, mediană, înălțime și mediatoare a bazei.
În orice triunghi isoscel, medianele corespunzătoare laturilor congruente sunt congruente.
În orice triunghi isoscel, înălțimile corespunzătoare laturilor congruente sunt congruente.
Triunghiul cu două mediane congruente este isoscel.
Triunghiul cu două înălțimi congruente este isoscel.

Proprietăți ale triunghiului echilateral

Toate laturile triunghiului echilateral sunt congruente.
Toate unghiurile sale sunt congruente și au măsura de 60°.
Într-un triunghi echilateral, fiecare mediană este și înălțime, bisectoare și mediatoare.
Ortocentrul, centrul de greutate, centrul cercului înscris și centrul cercului circumscris coincid.
Triunghiul isoscel cu un unghi cu măsura de 60° este echilateral.

Triunghiul dreptunghic

Proprietățile triunghiului dreptunghic

Teorema 30°–60°–90°. Dacă un triunghi dreptunghic are un unghi ascuțit cu măsura de 30°, atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este jumătate din lungimea ipotenuzei.
Dacă într-un triunghi dreptunghic lungimea unei catete este jumătate din lungimea ipotenuzei, atunci măsura unghiului opus acelei catete este de 30°.
Mediana corespunzătoare ipotenuzei. În orice triunghi dreptunghic, lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.
Dacă mediana unui triunghi are lungimea egală cu jumătate din lungimea laturii corespunzătoare, atunci triunghiul este dreptunghic, unghiul drept fiind cel opus laturii căreia i s-a considerat mediana.

Cazurile de congruență ale triunghiurilor dreptunghice

Catetă–catetă (C.C.). Două triunghiuri dreptunghice care au catetele respectiv congruente sunt congruente.
Catetă–unghi (C.U.). Două triunghiuri dreptunghice care au câte o catetă și câte un unghi ascuțit, respectiv congruente, sunt congruente.
Ipotenuză–catetă (I.C.). Două triunghiuri dreptunghice care au ipotenuzele și câte o catetă respectiv congruente sunt congruente.
Ipotenuză–unghi (I.U.). Două triunghiuri dreptunghice care au ipotenuzele și câte un unghi ascuțit respectiv congruente sunt congruente.

3. Cercul

Definiția cercului și figura

Definiție. Cercul este mulțimea punctelor din plan egal depărtate de un punct fix, numit centrul cercului.

Observație. Cercul este doar linia curbă care îl alcătuiește, iar discul este cercul împreună cu interiorul său.

Elementele cercului

Raza este segmentul care unește centrul cu un punct de pe cerc. Toate razele aceluiași cerc sunt egale. Exemplu: OA este rază.
Diametrul este coarda care trece prin centrul cercului și are lungimea 2r. Exemplu: BA este diametru. Relație importantă: d = 2r.
Coarda este segmentul care unește două puncte ale cercului. Exemplu: AC este coardă.
Arcul de cerc este porțiunea de cerc delimitată de două puncte de pe cerc. Exemple: AC este arc de cerc, iar ABC este arcul mare AC.
Semicercul este porțiunea de cerc delimitată de două puncte diametral opuse. Exemplu: AB este semicerc.

Sectorul de cerc

Definiție. Sectorul de cerc este porțiunea din interiorul cercului cuprinsă între două raze și arcul determinat de acestea.

În figura de mai jos, porțiunea colorată reprezintă sectorul AOB.

2. Tangentă și secantă

Tangenta la cerc

Definiție. Tangenta este dreapta care are un singur punct comun cu cercul.

Observație. Tangenta la cerc este perpendiculară pe raza dusă la punctul de contact.

AB este tangentă în B, iar OB este rază; prin urmare AB ⟂ OB.

Secanta la cerc

Definiție. Secanta este dreapta care are două puncte comune cu cercul.

Observație. Porțiunea secantei cuprinsă între cele două puncte de intersecție este o coardă a cercului.

Dreapta AD este secantă și intersectează cercul în punctele C și D; segmentul [CD] este coardă.

3. Unghi la centru și unghi înscris în cerc

Unghi la centru

Definiție. Unghiul la centru este unghiul care are vârful în centrul cercului, iar laturile sale sunt două raze.

Exemplu. În figura de mai jos, ∠AOB este un unghi la centru.

Măsura unghiului la centru este egală cu măsura arcului AB pe care îl interceptează.

Unghi înscris în cerc

Definiție. Unghiul înscris în cerc este unghiul care are vârful pe cerc, iar laturile sale sunt două coarde.

Exemplu. În figura de mai jos, ∠AMB este un unghi înscris în cerc.

Măsura unghiului înscris este egală cu jumătate din măsura arcului AB pe care îl interceptează.

4. Proprietăți ale cercului

Tangente din același punct exterior

Tangentele duse la un cerc din același punct exterior sunt congruente.

Dacă TM și TN sunt tangente din punctul exterior T, atunci:

TM ≡ TN

Arce și coarde congruente

În același cerc sau în cercuri congruente, unor arce congruente le corespund coarde congruente și reciproc.

AB ≡ CD ⇔ AB ≡ CD

Raza perpendiculară pe o coardă

O rază perpendiculară pe o coardă o înjumătățește.

Reciproc, dacă o rază înjumătățește o coardă, atunci ea este perpendiculară pe coarda respectivă.

OT ⟂ MN ⇔ MT ≡ TN

Arce între două coarde paralele

Arcele de cerc cuprinse între două coarde paralele sunt congruente și reciproc.

Dacă AB ∥ CD, atunci arcele AD și BC sunt congruente.

Coarde egal depărtate de centru

Coardele egal depărtate de centru sunt congruente și reciproc.

OM = ON dacă și numai dacă AB = CD.

5. Puncte conciclice, poligoane inscriptibile, patrulater inscriptibil

Puncte conciclice

Definiție. Mai multe puncte se numesc conciclice dacă există un cerc care trece prin toate acele puncte.

Poligon inscriptibil

Definiție. Un poligon este inscriptibil dacă toate vârfurile sale sunt situate pe același cerc.

Patrulater inscriptibil

Definiție. Un patrulater este inscriptibil dacă toate cele patru vârfuri ale sale sunt situate pe același cerc.

6. Echivalențe pentru patrulaterul inscriptibil

Observație. Următoarele afirmații sunt echivalente pentru un patrulater ABCD:

Patrulaterul ABCD este inscriptibil.
O pereche de unghiuri opuse este suplementară:
m(∠A) + m(∠C) = 180°
sau
m(∠B) + m(∠D) = 180°
Un unghi format de o latură cu o diagonală este congruent cu un unghi format de cealaltă diagonală cu latura opusă:
∠BAC ≡ ∠BDC

7. Cerc înscris, cerc circumscris unui triunghi

Cerc înscris. Un cerc este înscris într-un triunghi dacă laturile triunghiului sunt tangente la acel cerc (cercul este interior triunghiului, iar triunghiul este circumscris cercului).

Centrul cercului înscris se găsește la intersecția bisectoarelor triunghiului.

Cerc circumscris. Un cerc este circumscris unui triunghi dacă el trece prin vârfurile triunghiului (cercul este circumscris triunghiului, iar triunghiul este înscris în cerc).

Centrul cercului circumscris se găsește la intersecția mediatoarelor triunghiului.

8. Elementele poligoanelor regulate cu 3, 4 și 6 laturi

Apotemă. Apotema reprezintă distanța de la centrul unui poligon regulat la una dintre laturile sale. Într-un poligon regulat, toate apotemele sunt congruente.

Apotema se notează cu a și este egală cu raza cercului înscris în poligon.

Triunghiul echilateral regulat

Figura

Datele problemei

Model: Considerăm un triunghi echilateral înscris într-un cerc de rază R. Notăm cu l latura triunghiului, cu O centrul cercului, iar cu M mijlocul lui [BC].

Segmentul OM este apotema, notată cu ap.

Într-un triunghi echilateral, centrul cercului circumscris, centrul cercului înscris și centrul de greutate coincid. Astfel, dreapta AO este și mediană, și înălțime, iar M este mijlocul lui [BC].

1. Calculul apotemei

În triunghiul BOC avem OB = OC = R, deci triunghiul BOC este isoscel.

Cum M este mijlocul lui [BC], rezultă că OM este și înălțime, și mediană, și bisectoare. Prin urmare, triunghiul OMC este dreptunghic și are un unghi de 30°.

Într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unghiului de 30° este egală cu jumătate din ipotenuză.

OM = OC / 2 = R / 2

ap = OM = R / 2

2. Calculul laturii

În triunghiul dreptunghic OMC aplicăm teorema lui Pitagora:

OC² = OM² + MC²

R² = (R / 2)² + MC²

MC² = R² - R² / 4 = 3R² / 4

MC = R√3 / 2

Dar M este mijlocul lui [BC], deci BC = 2·MC.

l = BC = 2 · (R√3 / 2) = √3 · R

3. Perimetrul

Triunghiul echilateral are trei laturi egale, deci:

P = 3l

Înlocuind valoarea lui l:

P = 3 · (√3 · R)

P = 3√3 · R

4. Aria și concluzii

Pentru un poligon regulat, aria este:

A = (P · ap) / 2

Înlocuind valorile obținute:

A = [3√3 · R · (R / 2)] / 2

A = (3√3 / 4) · R²

Rezultate finale:
l = √3 · R
ap = R / 2
P = 3√3 · R
A = (3√3 / 4) · R²

Pătratul regulat

Figura

Datele problemei

Model: Considerăm un pătrat înscris într-un cerc de rază R. Notăm cu l latura pătratului, cu O centrul cercului, iar cu M mijlocul lui [BC].

Segmentul OM este apotema, notată cu ap.

Într-un pătrat, diagonalele sunt egale, se înjumătățesc și sunt perpendiculare între ele. Centrul cercului circumscris coincide cu punctul de intersecție al diagonalelor. Deoarece O este și centrul pătratului, perpendiculara dusă din O pe latura BC o înjumătățește. Prin urmare, M este mijlocul lui [BC], iar OM ⟂ BC.

1. Calculul apotemei

În pătrat, distanța de la centru la o latură este jumătate din latura pătratului. Cum M este mijlocul lui [BC], rezultă:

MC = l / 2

În triunghiul dreptunghic OMC avem OM = ap și OC = R.

Dar, pentru pătrat înscris în cerc, diagonala este diametrul cercului, deci:

AC = 2R

Deoarece diagonala pătratului este și AC = l√2, vom folosi această relație la calculul laturii, iar apoi obținem apotema.

2. Calculul laturii

Într-un pătrat, diagonala este egală cu l√2. Cum diagonala pătratului înscris coincide cu diametrul cercului, avem:

l√2 = 2R

Împărțind la √2, obținem:

l = 2R / √2 = R√2

Acum revenim la jumătatea laturii:

MC = l / 2 = R√2 / 2

În triunghiul dreptunghic OMC, fiind un triunghi isoscel dreptunghic, rezultă:

OM = MC = R√2 / 2

ap = R√2 / 2

3. Perimetrul

Pătratul are patru laturi egale, deci:

P = 4l

Înlocuind valoarea lui l:

P = 4 · R√2

P = 4√2 · R

4. Aria și concluzii

Pentru un poligon regulat, aria este:

A = (P · ap) / 2

Înlocuind valorile obținute:

A = [4√2 · R · (R√2 / 2)] / 2

A = 2R²

Echivalent, deoarece aria pătratului este l²:

A = (R√2)² = 2R²

Rezultate finale:
l = R√2
ap = R√2 / 2
P = 4√2 · R
A = 2R²

Hexagonul regulat

Figura

Datele problemei

Model: Considerăm un hexagon regulat înscris într-un cerc de rază R. Notăm cu l latura hexagonului, cu O centrul cercului, iar cu M mijlocul laturii [CD].

Segmentul OM este apotema, notată cu ap.

Într-un hexagon regulat, unghiul la centru corespunzător unei laturi este de 60°. De aceea, dacă unim centrul cu două vârfuri consecutive, obținem un triunghi echilateral.

1. Calculul laturii

Privim triunghiul COD. Avem:

OC = OD = R

iar unghiul la centru:

∠COD = 360° / 6 = 60°

Rezultă că triunghiul COD este echilateral, deci toate laturile sale sunt egale.

CD = OC = OD = R

l = R

2. Calculul apotemei

În triunghiul echilateral COD, segmentul OM este înălțime, mediană și bisectoare. Prin urmare, triunghiul OMD este dreptunghic, ∠ODM = 60°, iar ∠DOM = 30°.

Într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unghiului de 30° este egală cu jumătate din ipotenuză. Aici, cateta opusă unghiului ∠DOM = 30° este MD, deci:

MD = OD / 2 = R / 2

Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul OMD:

OD² = OM² + MD²

R² = OM² + (R / 2)²

OM² = R² - R² / 4 = 3R² / 4

OM = R√3 / 2

ap = OM = R√3 / 2

3. Perimetrul

Hexagonul are șase laturi egale, deci:

P = 6l

Înlocuind l = R, obținem:

P = 6R

4. Aria și concluzii

Pentru un poligon regulat, aria este:

A = (P · ap) / 2

Înlocuind valorile obținute:

A = [6R · (R√3 / 2)] / 2

A = 3√3 · R² / 2

Rezultate finale:
l = R
ap = R√3 / 2
P = 6R
A = 3√3 · R² / 2